lunes, 19 de septiembre de 2011

Por cuatro puntos no alineados del espacio pasa siempre una única esfera, ya que tres puntos ABC determinan un plano y el otro punto que falta  D, unido a otros dos cualesquiera de los anteriores –p.ej. CB- determinan otro triángulo. Por estos dos triángulos se pueden trazar dos rectas MN perpendiculares a los mismos que equidisten de los tres vértices de cada triángulo (una perpendicular a cada una las circunferencias que contienen a los triángulos), estas dos rectas se cortan en el centro de la esfera O que contiene en su superficie a los dos triángulos.






Cuatro puntos MNÑP determinan una única superficie esférica, ya que tres puntos MNÑ  determinan una circunferencia, otros tres puntos MÑP determinan otra circunferencia y las rectas perpendiculares ab que pasan por los centros de ambas circunferencias están en un mismo plano que es perpendicular a la de intersección MÑ de ambas circunferencias. Como las rectas ab están en el mismo plano se cortan en un punto O que equidista de los cuatro puntos dados MNÑP, por lo que O es el centro de la esfera.




La  esfera es una superficie de revolución engendrada por una semi-circunferencia mayor en torno a su cuerda que en este caso es su diámetro. Si un plano tiene un punto en común con una esfera es tangente a la misma y todas las rectas del plano que pasan por el punto de contacto con la esfera son perpendiculares al diámetro de la esfera que es ortogonal al plano. Una recta puede cortar a una esfera como máximo en dos puntos y decimos que en este caso es secante, mientras que si la corta en un punto decimos que es tangente, si la corta en ninguno decimos que es exterior.


En un triángulo en el plano, los ángulos suman 180° mientras que en un triángulo esférico, los ángulos exceden de esta cantidad. En el triángulo determinado por los puntos MNO, hacemos por N una recta paralela a’ a la recta a, con lo que tenemos sobre este vértice N los tres ángulos del triángulo-en color verde, amarillo y rojo-que forman entre sí 180°. El triángulo esférico está formado por tres rectas o geodésicas de la esfera, como ya sabemos las rectas de la  esfera son los círculos máximos de la misma, con lo que un círculo máximo que pase por 2 puntos es una circunferencia que secciona a la esfera en dos partes iguales de manera que la circunferencia contiene a los dos puntos y al centro del esfera. Los triángulos esféricos se utilizan sobretodo en astronomía y en la cartografía.






La geometría desarrollada sobre un plano es la llamada euclidiana, mientras que la geometría que se desarrolla sobre una superficie curva se llama no euclidiana. A partir del siglo XIX se empezaron a desarrollar los teoremas de las geometrías no euclidianas, la primera que se abordó fue la esférica (o caso particular de superficie de curvatura positiva).
Como ya sabemos la línea recta en geometría plana o euclídea es la distancia más corta entre dos puntos, sobre la superficie esférica la distancia más corta entre dos puntos es una línea curva cerrada o circunferencia cuyo centro es el de la esfera que la contiene. La recta esférica se llama geodésica y es por tanto el círculo máximo que pasa por los puntos de la esfera. Si queremos determinar la longitud de un segmento definido por 2 puntos del círculo máximo de la esfera tendremos que definir el ángulo que abarca respecto al centro de la esfera, a este ángulo se le llama ángulo arco.
En principio  los postulados de la geometría euclidiana nos sirven para esta geometría sobre la esfera excepto el quinto, el cual refiere que por una recta y un punto exterior a la misma se puede trazar una única paralela, esto es, una recta que al prolongarla no la corta jamás, en sentido estricto. En la esfera, cuando tomamos una geodésica o “línea recta” y un punto exterior, si trazamos otra geodésica por éste punto, siempre cortará a la anterior. Por tanto dos rectas de la esfera o geodésicas delimitan sobre la misma una superficie perfectamente cerrada ya que se cortan en dos puntos por tener el diámetro esférico común. Los ángulos del triángulo suman más de 180° sobre la esfera, y este número se incrementa por el tamaño del triángulo o “exceso”, o lo que es lo mismo, cuanto mayor sea el triángulo sobre la esfera más curvatura tiene y los ángulos del mismo son mayores. En el triángulo esférico los ángulos suman más de 180° y si a ese valor le restamos el valor de pi expresado en radianes, determinamos el exceso esférico.


Cuando los teoremas que aplicamos en la geometría euclidiana se pueden utilizar en otras geometrías, se les llama teoremas de geometría absoluta. Cuando una geometría no admite el postulado quinto del paralelismo, se le llama geometría no euclidiana, y es la que se desarrolla sobre su cualquier superficie curva. Un caso especial de curvatura constante (curvatura en la cual las figuras de la superficie se pueden mover y girar sin deformación), es la geometría sobre la superficie esférica, con curvatura positiva, que quiere decir que en el entorno de un punto las direcciones y sentidos de las curvas son hacia afuera o convexas, las dos en la misma dirección.





Por el contrario tenemos un espacio de curvatura negativa, análogo al de una silla de montar o paraboloide hiperbólico, o también llamado seudo-esférico en la que todo punto contiene dos curvas de sentidos opuestos en su entorno. Por contraposición al espacio de curvatura positiva en el que las rectas paralelas no existen, en el de curvatura negativa se pueden trazar por lo general infinitas paralelas por un punto exterior a una recta, esto es, infinidad de “rectas” que pasando por este punto exterior no cortan a la recta dada.






Las líneas geodésicas de una superficie.
La línea geodésica de una superficie es la curva perpendicular en cada punto a una superficie que coincide con la perpendicular a la superficie y al mismo tiempo  la distancia más corta entre dos puntos de la superficie.
Por ejemplo, en  un cilindro circular recto, la distancia más corta entre dos puntos de una generatriz es la línea recta, no obstante si los puntos no coinciden en una misma generatriz, la línea geodésica que pasa por ellos es un helicoide circular recto incidente en la superficie cilíndrica, ya que por todos sus puntos se pueden pasar rectas perpendiculares a la curva y a la superficie al mismo tiempo.


en la figura podemos observar un helicoide circular recto con las rectas perpendiculares desde cada uno de sus puntos hasta el eje de revolución del cilindro. El helicoide circular recto es la línea que describe un punto que gira alrededor de un círculo mientras se desplaza al mismo tiempo a través de la superficie cilíndrica.











Líneas geodésicas o círculos máximos de la esfera

Para determinar los ángulos entre las líneas curvas o líneas geodésicas de los círculos máximos de la esfera, habrá que medir en el punto de intersección de cada par de geodésicas el ángulo entre las dos líneas tangentes a ambos círculos mayores. El ángulo de estas dos líneas es el mismo ángulo que forman las dos líneas geodésicas. Por tanto el ángulo de los arcos de circunferencias máximas de la esfera es el que definen las tangentes en el punto de intersección de los arcos, o también el ángulo del diedro que forman los dos planos de los círculos mayores.

Los lados del triángulo de la superficie esférica se miden por los ángulos de los planos del ángulo triedro –el  a, por ejemplo- mientras que los ángulos del triángulo los determinan los ángulos entre cada par de planos del triedro –el  b por ejemplo.





En el caso del triángulo esférico que corresponde a un octavo de la esfera tenemos que los ángulos de los planos o  caras del triedro g (en el dibujo ángulo definido por las rectas xy) son iguales que los ángulos (m, por ejemplo) que forman cada par de caras del triedro con el que definen las tangentes ab a ambos  círculos mayores).


Tres circunferencias máximas sobre la esfera definen varios triángulos esféricos. Como podemos observar en el dibujo, un círculo mayor define dos partes sobre la superficie esférica, al incorporar otro círculo mayor divide a la superficie esférica junto con el anterior en cuatro partes. Si a estas cuatro divisiones incorporamos otro meridiano, duplicará las cuatro divisiones generando ocho.
En este caso particular se ha dividido la esfera en ocho partes iguales, por lo que los ocho triedros trirrectángulos  generan triángulos cuyos vértices miden 90°, por lo que en cada triángulo los ángulos suman 270°, esto es, 90° por tres vértices de cada triángulo.








en la figura podemos observar en sistema  diédrico un caso genérico del tema anterior, a la derecha en presentación sombreada y a la izquierda en forma alámbrica con discontinuas para simular la parte oculta de cada meridiano.
Los círculos mayores determinan ocho triángulos con 4 distintos por regla general. Aparece señalado en color naranja el triángulo más pequeño de los ocho.
Si alineamos cada uno de los vértices del triángulo esférico  ABC con el centro de la esfera y prolongamosestos diámetros hasta la superficie esférica opuesta, obtenemos el simétrico central en el espacio del triángulo. También lo podríamos obtener además en planta -o en el alzado- si giramos cada uno de los puntos del triángulo respecto al centro de la esfera 180°.


Una forma de obtener este ángulo g entre dos líneas geodésicas ab es proyectarlo desde un centro de la esfera O sobre un plano perpendicular al radio que determinan el centro de la esfera y el vértice del ángulo indicado (proyectar d –el diámetro vertical- al plano horizontal), de esta manera los dos arcos se convierten en líneas rectas ab sobre el plano de proyección. Este ángulo aparece proyectado sobre el plano en planta en verdadera magnitud, ya que es el plano perpendicular a la recta d de intersección de los dos círculos máximos.


En la figura podemos observar en planta, alzado y perfil las proyecciones del triángulo esférico en color blanco, azul y amarillo respectivamente.
 En el alzado el ángulo que forman los dos lados del triángulo esférico está en verdadera magnitud ya que los dos planos de los círculos mayores tienen por intersección una recta de punta, esto es, perpendicular al plano vertical. Sucede lo mismo en el perfil con el ángulo que forman los dos círculos mayores definido en color amarillo, los dos planos de los círculos mayores se cortan en una recta paralela a la línea de tierra que es perpendicular al plano de perfil , por tanto, como este plano es perpendicular a la recta intersección de ambos círculos mayores tenemos que éste define el ángulo entre ambos.
Para determinar el último ángulo de los dos lados del triángulo esférico tenemos que crear una proyección auxiliar en la dirección de intersección de los dos círculos mayores que quedan sobre el perfil. Al proyectar esta nueva dirección A  tenemos como nueva vista auxiliar determinada por A, el ángulo entre estos dos planos que queda definido en color rojo y es de 90°.






El ejercicio resulta más complejo cuando los planos de los círculos mayores no son perpendiculares a los planos de proyección. En la figura tenemos una esfera a la que se le ha quitado el triángulo esférico junto con la porción de esfera correspondiente a los vértices del triángulo proyectados sobre el centro de la misma. Tenemos en sistema diédrico las dos proyecciones en planta y alzado de la esfera  y a la derecha la esfera con las tres caras nombradas con los números 1, 2,3.
En la planta podemos observar en verdadera forma el ángulo que miden las dos caras: 2 y 3. Este ángulo de 75° está en verdadera forma porque el eje de proyección es la línea de intersección de los dos círculos mayores que es la línea vertical m, como se puede ver en el alzado. Como la línea de intersección de los dos círculos mayores es perpendicular al plano de la planta tenemos que la proyección de los dos planos de los círculos mayores se transforma en dos rectas que determinan el ángulo entre ellos.
Para determinar el ángulo que forman las caras 2 y 1, proyectamos desde el alzado en la dirección n, que es la intersección de esas dos caras, la nueva vista auxiliar E .Como es perpendicular al nuevo plano de proyección tenemos que en esta nueva proyección auxiliar el ángulo entre los planos 2 y 1 es de 90° .
Para obtener el último ángulo que forman los círculos mayores uno y tres, proyectamos el alzado en la dirección C correspondiente a la cara uno en verdadera magnitud . de esta nueva proyección obtenemos una nueva vista auxiliar en la que la dirección ñ es perpendicular a la misma, con lo que tenemos definido ya el ángulo entre los planos uno y tres, que es de 132,46°.



















Otra forma de obtener el valor de los ángulos de distintas geodésicas, es proyectarlo mediante una proyección estereográfica.

Página sobre la proyección estereografica
Como sabemos la proyección estereográfica de la esfera se realiza sobre un plano Q tangente a la misma desde  un punto P. En el punto de contacto con la esfera se traza una perpendicular al plano que pasa obviamente por el centro de la esfera y por el polo opuesto P al punto de tangencia. Como la proyección estereográfica es una transformación “conforme” que quiere decir que conserva los ángulos, basta con proyectar los arcos geodésicos sobre el plano y medir  los ángulos que forman sobre el mismo plano de proyección.
En el dibujo podemos observar un triángulo definido tres círculos máximos que pasan por los puntos ABC. El centro de la proyección estereográfica coincide con el polo norte de la esfera P, desde este punto pasamos rectas que pasen por ABC hasta que cortan al plano de proyección amarillo Q en los puntos A’B’C’. Para obtener la curvatura de los lados del triángulo sobre el plano Q, basta con obtener otro punto –p.ej. el Y- cualquiera de las geodésicas, entre cada par de puntos, por ejemplo, entre el punto A y el punto C tenemos sobre la geodésica el punto Y, si lo proyectamos desde el centro de proyección P sobre el plano de proyección Q, obtenemos el punto Y’. Los tres puntos determinan la circunferencia o arco de circunferencia que pasa por los puntos A’Y’C’, ya que por 3 puntos pasa una sola circunferencia, con lo cual queda perfectamente definido el arco A’C’ y su curvatura correspondiente.
Para obtener el arco de circunferencia que pasa por los puntos AB, no es necesario calcular el transformado de otro punto que pase entre estos, ya que es una circunferencia paralela al plano de proyección Q, y por lo tanto el centro de su transformada estará en el punto de contacto o de tangencia de la esfera con el plano de proyección Q.







Como sabemos, el ángulo que forman dos líneas geodésicas AC AB sobre la esfera es el mismo ángulo que forman las tangentes n m a ambas geodésicas por el vértice de intersección A. Si  estas dos líneas m n que son tangentes a los círculos máximos sobre la esfera, lo son también sus proyecciones m’ n’ respecto a las circunferencias proyectadas sobre el plano de proyección estéreográfico Q.
En el dibujo, el círculo mayor o línea geodésica que contiene a los puntos AB, se define la tangente m como la recta perpendicular al diámetro de la esfera que pasa por el punto A. De igual forma la proyección m’ de esta recta será perpendicular al radio de la circunferencia azul proyectada sobre el plano Q. Si hacemos la recta tangente a la circunferencia mayor que determinan los puntos AC y el centro de la esfera, obtenemos la recta n que corta al plano de proyección Q  en el punto S. la proyección estereográfica n’ de esta recta n quedará determinada por la proyección estereográfica A’ de  A y el punto anterior S.
El ángulo j que forman estas dos rectas m’ n’ es en realidad el ángulo rojo que determinan los dos lados AC AB del triángulo esférico. De igual forma por B’ podemos hacer las dos tangentes BA BC  obteniendo el ángulo k que forman los otros dos lados del triángulo y por C’ obtenemos el ángulo l entre CA CB de la misma forma.


Podemos obtener en sistema diédrico la proyección estereográfica del triángulo sobre el plano Q. Para ello proyectamos desde el centro de proyección P2 cada uno de los puntos del triángulo en el alzado (por ejemplo el punto C2) hasta que corten al plano horizontal en un punto C2’ que proyectamos a la planta mediante una vertical hasta que corten a la recta respectiva P1-C1 en C’ obteniendo de esta forma la proyección en planta de cada uno de los lados del triángulo esférico. Como ya comentamos en el caso anterior para obtener las circunferencias en verdadera forma basta con obtener puntos de la geodésica dentro de los lados del triángulo esférico entre cada par de vértices y obtener sus proyecciones sobre el plano de la planta.  3 puntos de una geodésica proyectados en planta determinaban la circunferencia y cada uno de los lados del triángulo. En el dibujo el triángulo aparece en color amarillo y está determinado por los puntos A’B’C’. En cada uno de los vértices del triángulo observamos que aparecen dos circunferencias, cuyas tangentes por cada vértice determinan el ángulo entre ambas, éste triángulo permanece invariable en sus ángulos al ser proyectado desde la esfera desde el punto P por ser una proyección estereográfica.
La proyección en planta del sistema diédrico del triángulo esférico es en realidad la proyección estereográfica del triángulo, una transformación que conserva los ángulos y que permite medir en las tangentes por los vértices los ángulos del triángulo.














tenemos otras muchas formas de transformar la esfera en una forma plana, y esto se estudia en cartografía.
Página sobre la construcción de mapas

En el dibujo podemos observar cómo una esfera definida por meridianos y paralelos, lo que se denomina en informática un modelo alámbrico, se transforma en planta y alzado en las dos imágenes que se pueden ver sobre el plano verde y rosa, respectivamente. Es lo que se llama proyección ortográfica de la esfera sobre cada uno de los dos planos. Sobre el plano verde, en planta, podemos observar cómo los paralelos se transforman en circunferencias concéntricas mientras que los meridianos se tornan líneas rectas que pasan por el centro. Mientras que la proyección ortográfica u ortogonal sobre el alzado, observamos que los paralelos se transforman en líneas rectas y los meridianos en elipses.
Podemos observar que la proyección ortográfica sobre el plano de la planta en color verde es en realidad la sombra de la esfera cuando el sol está por encima de ella, mientras que la proyección ortográfica en el alzado sobre el plano de color rosa correspondería al sol en el crepúsculo, cuando está próximo a esconderse en el horizonte. Se describe esta analogía ya que la luz solar tiene un foco (el sol) tan alejado que los rayos de la misma se consideran paralelos, por lo que estamos hablando de una proyección cilíndrica, que es la que corresponde a esta transformación ortográfica.









Espacio curvado
En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se curva debido a la masa y energía que contiene. Los objetos celestes se mueven en órbitas curvas para adecuarse a un espacio curvado, a una geodésica. Los cuerpos en la teoría de la relatividad general siempre describen trayectorias geodésicas en un espacio de cuatro dimensiones, tal y como lo hacen las líneas rectas en el espacio que utilizamos en geometría de tres dimensiones. Cuando la materia está presente, el espacio-tiempo de cuatro dimensiones se deforma generando la curvatura del espacio. La curvatura del espacio no sólo afecta a la materia sino también a la luz, los rayos próximos al sol se curvan por efecto de la masa del mismo.








Dependiendo de la densidad que tenga el universo esté puede adoptar formas distintas, si tiene una densidad llamada subcrítica, adoptará una curvatura positiva igual que la de la esfera, es un universo cerrado, finito pero ilimitado. Si la densidad del universo es crítica carece de curvatura y por lo tanto es plano, mientras que si tiene curvatura negativa es un universo abierto sin límites con forma de  paraboloide hiperbólico (silla de montar), cuyas estrellas y galaxias se expandirán indefinidamente hasta su congelación.


Tanto si el universo está muy agrupado, esto es,  con alta densidad, como si no, toda la materia que lo forma se acabará desintegrando, ya que con el paso del tiempo el gas interestelar se irá consumiendo. Unas estrellas explotarán como las supernovas y otras se expandirán como las nebulosas planetarias, no obstante parte de ellas estarán integradas en agujeros negros, estrellas de neutrones o enanas blancas. Será un punto en el que ya no se podrán crear nuevas estrellas, sólo las de neutrones y las enanas blancas persistirán para transformarse en radiación por ser la materia inestable, hasta los agujeros negros desaparecerán, será un desolador universo sin materia.